+2 maths

Plus Two Mathematics – Relation and Function

Simple Teaching Notes with Easy Examples

---

1. Relation

Definition

A relation from set to set is a collection of ordered pairs.

Example

Let

A relation:

R=\{(1,4),(2,5)\}

Here,

• 1 is related to 4
• 2 is related to 5

---

2. Types of Relations

(a) Empty Relation

No element is related.

R=\phi

Example

A=\{1,2\}



---

(b) Universal Relation

Every element is related to every element.

Example

A=\{1,2\}



---

3. Reflexive Relation

A relation is reflexive if every element is related to itself.

(a,a)\in R

Example

A=\{1,2,3\}



✔ Reflexive

---

4. Symmetric Relation

If , then

Example

R=\{(1,2),(2,1)\}

✔ Symmetric

---

5. Transitive Relation

If and , then

Example

R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}

✔ Transitive

---

6. Equivalence Relation

A relation which is:

• Reflexive
• Symmetric
• Transitive

is called an equivalence relation.

Example

R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}

✔ Equivalence Relation

---

7. Function

A function is a relation in which:

• Every element of set has exactly one image in set

f:A\to B

---

Example

A=\{1,2,3\}



f=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}

Here,

f(x)=2x

---

8. One-One Function (Injective)

Different inputs give different outputs.

Example

f(x)=2x

f(1)=2,\quad f(2)=4

✔ One-One

---

9. Onto Function (Surjective)

Every element in codomain has a pre-image.

Example

A=\{1,2,3\}



f(x)=2x

Every element in is obtained.

✔ Onto

---

10. Bijective Function

A function which is:

• One-One
• Onto

is called bijective.

---

11. Composition of Functions

If

f:A\to B

g:B\to C

then

(gof)(x)=g(f(x))

---

Simple Example

Let

f(x)=x+1



Then

(gof)(x)=g(x+1)

=2(x+1)

=2x+2

---

12. Inverse Function

If

f(x)=2x+1

Then

y=2x+1

Swap and :

x=2y+1

y=\frac{x-1}{2}

Therefore,

f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}

---

13. Binary Operation

A binary operation combines two elements and gives another element of the same set.

Example

On integers:

a*b=a+b

2*3=5

---

Very Important Formulas

Composition

(gof)(x)=g(f(x))

One-One Test

f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2

Onto Test

Every element in codomain must have pre-image.

---

Simple Practice Questions

1.

Is

R=\{(1,1),(2,2)\}

Answer:

Yes

---

2.

Find

f(x)=x+2



Solution

g(f(x))=3(x+2)



---

3.

Is one-one?

Answer:

Yes

---

4.

Find inverse of

f(x)=x+5

Answer

f^{-1}(x)=x-5

---

Short Classroom Activity

Take set:

A=\{1,2,3\}

Ask students to:

1. Write a reflexive relation
2. Write a symmetric relation
3. Find for simple functions

---

Conclusion

Relation and Function chapter helps to understand:

• Mapping
• Functions
• Inverse
• Composition
• Binary operations

It is an important base chapter for Calculus and Higher Mathematics.

ബന്ധങ്ങളും ഫങ്ഷനുകളും – ഒരു ചെറിയ മലയാളം കഥ

“സുഹൃത്ത് ഗ്രാമത്തിലെ ഗണിത മേള”

ഒരു ഗ്രാമത്തിൽ “സുഹൃത്ത് ഗ്രാമം” എന്ന പേരിൽ ഒരു ചെറിയ ഗ്രാമം ഉണ്ടായിരുന്നു. അവിടെ എല്ലാ കുട്ടികളും ഗണിതം കളിയിലൂടെയും കഥകളിലൂടെയും പഠിക്കുമായിരുന്നു.

ഒരു ദിവസം സ്കൂളിൽ “Relation & Function മേള” നടത്തി.

---

1. Relation (ബന്ധം)

അധ്യാപിക റീന ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“നമ്മുടെ ക്ലാസിലെ കുട്ടികളും അവരുടെ ഇഷ്ട ഫലങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം Relation ആണേ.”

ഉദാഹരണം

• അപ്പു → മാങ്ങ
• മീനു → ആപ്പിൾ
• രാഹുൽ → മുന്തിരി

ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

R=\{(അപ്പു,മാങ്ങ),(മീനു,ആപ്പിൾ),(രാഹുൽ,മുന്തിരി)\}

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു: “ഇതാണ് Relation.”

---

2. Reflexive Relation

അപ്പു കണ്ണാടിയിൽ തന്നെ നോക്കി പറഞ്ഞു:

“ഞാൻ എന്നെയാണല്ലോ കാണുന്നത്!”

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ഓരോ ആളും സ്വന്തം പേരുമായി ബന്ധപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ അത് Reflexive.”

ഉദാഹരണം

(അപ്പു,അപ്പു)



✔ Reflexive Relation

---

3. Symmetric Relation

അപ്പു മീനുവിന്റെ സുഹൃത്താണ്.

അപ്പോൾ മീനുവും അപ്പുവിന്റെ സുഹൃത്തായിരിക്കണം.

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ഇതാണ് Symmetric Relation.”

(a,b)\Rightarrow (b,a)

ഉദാഹരണം

(അപ്പു,മീനു)

(മീനു,അപ്പു)

---

4. Transitive Relation

അപ്പു രാഹുലിന്റെ സുഹൃത്താണ്.

രാഹുൽ മീനുവിന്റെ സുഹൃത്താണ്.

അപ്പോൾ അപ്പുവും മീനുവിന്റെ സുഹൃത്താകുന്നു.

ഇതാണ് Transitive Relation.

(a,b),(b,c)\Rightarrow(a,c)

---

5. Equivalence Relation

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ഒരു ബന്ധം Reflexive, Symmetric, Transitive എല്ലാം ആയാൽ അതിനെ Equivalence Relation എന്ന് പറയുന്നു.”

കുട്ടികൾ ചേർന്ന് പറഞ്ഞു:

“മൂന്നു ഗുണങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ Equivalence Relation ആകൂ!”

---

6. Function (ഫങ്ഷൻ)

മേളയിൽ ഓരോ കുട്ടിക്കും ഓരോ ചോക്ലേറ്റ് നൽകി.

• അപ്പു → Dairy Milk
• മീനു → KitKat
• രാഹുൽ → Perk

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ഓരോ കുട്ടിക്കും ഒരു മാത്രം ചോക്ലേറ്റ് കിട്ടിയാൽ അത് Function.”

---

7. One-One Function (Injective)

അപ്പുവിനും മീനുവിനും ഒരേ ചോക്ലേറ്റ് കൊടുത്തില്ല.

ഓരോരുത്തർക്കും വ്യത്യസ്തം.

✔ ഇത് One-One Function

ഓർക്കാൻ

“Different students → Different chocolates”

---

8. Onto Function (Surjective)

ടേബിളിലെ എല്ലാ ചോക്ലേറ്റുകളും ആരെങ്കിലും എടുത്തു.

ഒന്നും ബാക്കി ഇല്ല.

✔ ഇത് Onto Function

ഓർക്കാൻ

“Every chocolate has an owner”

---

9. Bijective Function

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ഒരു Function ഒരേസമയം One-One ഉം Onto ഉം ആണെങ്കിൽ അത് Bijective.”

അപ്പു ചോദിച്ചു:

“അപ്പോൾ എന്ത് പ്രത്യേകത?”

ടീച്ചർ ചിരിച്ചു:

“അതിന് Inverse കിട്ടും!”

---

10. Inverse Function

ടീച്ചർ കുട്ടികൾക്ക് നമ്പർ ബാഡ്ജ് നൽകി.

f(x)=x+1

അപ്പുവിന്റെ നമ്പർ 1 ആയപ്പോൾ പുതിയ നമ്പർ 2 ആയി.

പിന്നീട് പഴയ നമ്പർ കണ്ടെത്താൻ:

f^{-1}(x)=x-1

ഇതാണ് Inverse Function.

---

11. Composition of Functions

ടീച്ചർ പറഞ്ഞു:

“ആദ്യം ഒരു ജോലി, പിന്നെ മറ്റൊരു ജോലി.”

ഉദാഹരണം

ആദ്യം:

f(x)=x+1

പിന്നെ:

g(x)=2x

അപ്പുവിന് 2 മാമ്പഴം ഉണ്ടായിരുന്നു.

ആദ്യം 1 കൂടി:

2+1=3

പിന്നെ ഇരട്ടിയാക്കി:

2\times3=6

അതായത്

(gof)(2)=6

---

12. Binary Operation

മേളയിൽ കുട്ടികൾ നമ്പർ കളി കളിച്ചു.

Rule:

a*b=a+b

അപ്പു:

2*3=5

മീനു:

4*1=5

---

13. Commutative Property

അപ്പു ചോദിച്ചു:

2*3=5

രാഹുൽ ചോദിച്ചു:

3*2=5

രണ്ടും ഒരുപോലെ.

✔ Commutative

a*b=b*a

---

14. Associative Property

ടീച്ചർ മൂന്ന് കുട്ടികളെ കൂട്ടി:

(1*2)*3

1*(2*3)

രണ്ടും same answer.

✔ Associative

---

കഥയുടെ അവസാനം

മേള കഴിഞ്ഞപ്പോൾ കുട്ടികൾ പറഞ്ഞു:

✅ Relation = ബന്ധം
✅ Function = ഒരാൾക്ക് ഒരു output
✅ Reflexive = സ്വയം ബന്ധം
✅ Symmetric = തിരിച്ചും ബന്ധം
✅ Transitive = chain ബന്ധം
✅ One-One = ഓരോരുത്തർക്കും വ്യത്യസ്ത output
✅ Onto = എല്ലാം cover ചെയ്യണം
✅ Bijective = One-One + Onto
✅ Composition = ഒരു function കഴിഞ്ഞ് മറ്റൊന്ന്
✅ Binary Operation = രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ operation